Οι εξισώσεις είναι μακράν το πιο παρεξηγημένο μέρος των Μαθηματικών. Οι περισσότεροι μαθητές οι οποίοι δεν τις έχουν μάθει ακόμα πιστεύουν ότι είναι κάτι δύσκολο και εξωπραγματικό. Εντούτοις, οι εξισώσεις είναι κάτι το οποίο κάναμε… στην Α’ Δημοτικού! Ας ρίξουμε λίγο φως στο τι είναι οι εξισώσεις και πώς τις λύνουμε.
Πράξεις
Δυνάμεις στα Μαθηματικά: Εύκολος πολλαπλασιασμός
Ο όρος «δύναμη» έχει πολλές έννοιες. Στη Φυσική, είναι ένας τύπος ενέργειας (η δυναμική). Παράλληλα, χρησιμοποιείται και σε πολλές εκφράσεις. Στα Μαθηματικά, οι δυνάμεις είναι ένας σύντομος τρόπος για πολλαπλασιασμό.
Τι είναι οι δυνάμεις;
Οι δυνάμεις αποτελούνται από δύο μέρη: τη βάση (base) και τον εκθέτη (exponent). Και οι δύο είναι ακέραιοι.|
Ουσιαστικά, παίρνουμε τη βάση και την πολλαπλασιάζουμε με τον εαυτό της εκθέτης φορές. Γράφεται έτσι:
3²
Η βάση είναι το 3 και ο εκθέτης το 2. Αυτό διαβάζεται «Τρία στη Δευτέρα»: οι εκθέτες διαβάζονται όπως οι τάξεις στο σχολείο: Δευτέρα, Έκτη, Ογδόη και λοιπά. Και 3² σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε το 3 με τον εαυτό του 2 φορές, δηλαδή 3 * 3.
Άρα:
3² = 9
4² = 4 * 4 = 16
6² = 6 * 6 = 36
8³ = 8 * 8 * 8 = 64 * 8 = 512
Κύβοι και τετράγωνα
Όταν ο εκθέτης μιας δύναμης είναι το 2, αντί να πούμε «Στη Δευτέρα», μπορούμε να πούμε «Στο Τετράγωνο». Για παράδειγμα:
3² προφέρεται «Τρία στη Δευτέρα» ή «Τρία στο τετράγωνο»
Ενώ όταν ο εκθέτης είναι το 3, μπορούμε να πούμε «Στον Κύβο».
Οι δυνάμεις στις αριθμητικές παραστάσεις
Οι δυνάμεις, φυσικά, μπορούν να συμπεριληφθούν σε αριθμητικές παραστάσεις. Προηγούνται σχεδόν απ’ όλα, η σειρά είναι:
- Παρενθέσεις
- Δυνάμεις
- Πολλαπλασιασμοί/Διαιρέσεις
- Προσθέσεις/Αφαιρέσεις
Αριθμητικές παραστάσεις: Τι να προσέχετε!
Μια αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά (συστοιχία) αριθμών οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμητικές παραστάσεις είναι πιο εύκολοι τρόποι για τη λύση ενός προβλήματος. Ας δούμε πώς να λύσουμε μερικές, τις παγίδες και ας δοκιμάσουμε ένα πρόβλημα που ζητά να λυθεί με αριθμητική παράσταση!
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση αριθμών με το 10,100,1.000…
Πάντα θα τυχαίνει να πρέπει να πολλαπλασιάσουμε/διαιρέσουμε αριθμούς με το 10,100,1.000,10.000 και τα υπόλοιπα. Πώς όμως να το κάνουμε γρήγορα και απλά χωρίς να πρέπει να το κάνουμε κάθετα;
Πολλαπλασιασμός
ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Με τους κανονικούς αριθμούς, απλά προσθέτουμε μηδενικά. Τόσα μηδενικά όσα έχει και το 10,100…
35X100=3.500
35X10=350
Και ούτω καθεξής.
ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ
Στους δεκαδικούς, μετακινούμε την υποδιαστολή τόσες θέσεις δεξιά όσα μηδενικά έχει το 10…
35,3X10=353
35,3X10.000=353.000 (μετακινούμε την υποδιαστολή μία φορά και προσθέτουμε μηδενικά επειδή πλέον ο αριθμός ήταν ακέραιος)
Διαίρεση
Α’ ΤΡΟΠΟΣ
Στη διαίρεση μετακινούμε την υποδιαστολή αριστερά ή σβήνουμε μηδενικά. Ή και τα δύο.
35:100=0,35
35:10.000=0,0035 (αφού μετακινήσουμε 2 θέσεις και γίνει 0,35, πλέον προσθέτουμε μηδενικά στη θέση των δεκάτων, όσα έχουν απομείνει. Θα βάλουμε 2 μιας και από τα 4 μηδενικά του 10.000, χρησιμοποιήσαμε 2 για να το κάνουμε 0,35)
Β’ ΤΡΟΠΟΣ
Μπορεί με τον άλλο τρόπο να είναι σίγουρο ότι θα το βγάλουμε σωστά, αλλά με αυτόν είναι πιο εύκολο και ξεκούραστο.
Σκεφτόμαστε τη διαίρεση σαν κλάσμα.
35:100=35/100
Προφέρουμε (πάντα νοερά 😉 ) «τριάντα πέντε εκατοστά»
Άρα ο δεκαδικός θα έχει
35 εκατοστά και μόνο. Δηλαδή 0,35.
Όταν το κλάσμα είναι καταχρηστικό (δηλαδή που έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από παρονομαστή) απλά θα το ξανασκεφτούμε:
35:10=35/10= τριάντα πέντε δέκατα
10 δέκατα=1 οπότε θα είναι εύκολο να βρούμε το 3,5.
Ορισμοί και όροι στις πράξεις
Προσθετέος λέγεται ο αριθμός που, αν προστεθεί με έναν άλλον, (επίσης προσθετέο), θα έχει ως αποτέλεσμα ένα άθροισμα.
Μειωτέος είναι ο αριθμός που πρόκειται να μικρύνει λόγω της αφαίρεσής του με τον αφαιρετέο. Με άλλα λόγια, ο πάω αριθμός είναι μειωτέος και ο κάτω αφαιρετέος. Το αποτέλεσμα λέγεται διαφορά.
Παράγοντας ή πολλαπλασιαστέος είναι ο αριθμός που με τον πολλαπλασιασμό του με έναν άλλον παράγοντα, θα έχει ως αποτέλεσμα το γινόμενο.
Διαιρετέος είναι ο αριθμός που θα διαιρεθεί με έναν άλλον, τον διαιρέτη και θα βγάλουν ως αποτέλεσμα το πηλίκο. Με άλλα λόγια, διαιρετέος είναι ο αριστερός αριθμός και διαιρέτη ο δεξής.
Πρόσθεση μεικτών, με δύο τρόπους
Οι πράξεις με μεικτούς αριθμούς γίνονται σε κάθε περίπτωση με 2 τρόπους:
- Μετατρέπουμε τον μεικτό σε κλάσμα
- Κάνουμε ξεχωριστά τις πράξεις ακέραιος(+,- κλπ)ακέραιος και κλάσμα(+,-) κλάσμα.
Ο δεύτερος είναι πιο απλός, αλλά καλό θα κάνει και ο πρώτος 🙂
Πώς προσθέτουμε μεικτούς αριθμούς;
Πρόσθεση
πρωτος τροπος
Ας πούμε ότι έχουμε την πρόσθεση… 2,37+ 3 3/8 +8 8/10.
Δεκαδικός αριθμός, κατευθείαν σε κλάσμα. 237/100
Άρα η πράξη μας είναι 237/100+ 3 3/8+ 8 8/10.
Άρα 237/100+27/8+88/10.
Πρώτα θα βρούμε τον ΕΚΠ, που είναι το 200.
Κάνουμε κανονικά την πρόσθεση.
474/200+675/200+1.760/200=2.909/200
Δεν τελειώνει εδώ, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μεικτός με ανάγωγο κλάσμα. Έτσι θα κάνουμε την μετατροπή κλάσματος σε μεικτό διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή.
2.909:200=14 109/200
δευτερος τροπος
Ο καλύτερος.
2,37+ 3 3/8+ 8 8/10
Κάνουμε πάλι το 2,37 κλάσμα, 237/100. Τα άλλα… τα αφήνουμε όπως έχουν!
237/100+3 3/8+8 8/10
3+8=11, για να τελειώνουμε.
Πλέον η πράξη μας είναι 11+ 237/100+3/8+8/10. Τώρα θα προσθέσουμε τα κλάσματα μη λογαριάζοντας το 11, αλλά προσέξτε, πρέπει να το γράφουμε!
ΕΚΠ(100,8,10)=200
11+ 474/200+ 75/200+ 160/200= 11 709/200
Ποτέ μην αφήνετε μεικτό με καταχρηστικό κλάσμα!
Το 709/200 γίνεται 3 109/200…
11+ 3 109/200= 14 109/200!
Πώς βρίσκουμε τον ΕΚΠ των αριθμών- Πρώτα βήματα
Το ΕΚΠ σημαίνει Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο. Χρειάζεται σε πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων αναγκαστικά. Υπάρχουν κάμποσοι τρόποι για την εύρεσή του, αλλά τώρα θα δούμε τον πιο εύκολο.
Θέλουμε να βρούμε το ΕΚΠ του 7, του 6 και του 4; Πρώτα θα το γράψουμε αλά Μαθηματικά, είναι αδιανόητο να γράψεις σε τεστ «Θέλω να βρω το ΕΚΠ του 7, του 6 και του 4 κι γι’ αυτό θα………..». Θα το γράψετε ως εξής:
ΕΚΠ(6,4,7)=__________
Και ακολουθείτε τη διαδικασία.
Βρίσκετε τον μεγαλύτερο αριθμό (7) και τον διπλασιάζετε (14). Ελέγξτε αν διαιρείται με τους άλλους αριθμούς. Όχι; Τριπλασιάστε το 7 (21) μέχρι να βρεθεί η λύση!
Άρα εδώ έπρεπε να πολλαπλασιάσουμε το 7 12 φορές (!) για να βρούμε τελικά το 84.
Αν ο ΕΚΠ σε μεγάλους αριθμούς αρνείται πεισματικά να βρεθεί, τότε η μόνη λύση είναι να τους πολλαπλασιάσεις όλους μαζί…
Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικούς εύκολα και γρήγορα
Τα κλάσματα είναι προπάντων αριθμοί. Είναι σε μερικές περιπτώσεις όμως δύσκολο να καταλάβουμε ένα κλάσμα του τύπου π.χ. 85/90. Έτσι για να το καταλάβει ο άλλος στον οποίο μιλάμε, μπορούμε:
- Να το απλοποιήσουμε
- Να το μετατρέψουμε σε δεκαδικό
- Να το απλοποιήσουμε και να το μετατρέψουμε σε δεκαδικό
Το πρώτο είναι εύκολο αλλά μπορεί και πάλι να συνεχίζει να προβληματίζει τον άλλον. Το δεύτερο είναι αυτό που α δούμε τώρα και το τρίτο διευκολύνει εμάς και τον άλλον.
85/90 σε δεκαδικό…
Ξέρουμε ότι για να κάνουμε ένα κλάσμα δεκαδικό πρέπει να είναι με παρονομαστή 10,100… δηλαδή δεκαδικό κλάσμα. Εδώ όμως μπορεί να μετατραπεί το 85/90 σε δεκαδικό κλάσμα; Προφανώς, αν μετατρεπόταν θα κάναμε κανονικά τη διαδικασία. Γι’ αυτό τι θα κάνουμε;
Μα θα το απλοποιήσουμε. Και τα 2 :5 μας κάνουν 17/18. Και τώρα τι;
Θα πρέπει να κάνουμε την δύσκολη διαίρεση 17:18. Πάντως πιο εύκολο από 85:90!
Αν πάλι καταφέρναμε να κάνουμε το κλάσμα δεκαδικό, η δουλειά θα ήταν εύκολη: Το κλάσμα 18/10 είναι απ’ ευθείας 1,8 επειδή 18:10=1,8. Αν είναι δεκαδικό, παίρνουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή, βλέπουμε τα μηδενικά του δεύτερου και μετακινούμε το κόμμα τόσες θέσεις αριστερά. Όταν δεν υπάρχει κόμμα είναι σαν να είναι μετά το τελευταίο ψηφίο.
Πώς κάνουμε δεκαδικούς κλάσματα:
Παίρνουμε τον δεκαδικό 0,602. Τον γράφουμε όλο στη θέση του αριθμητή χωρίς κόμματα.
0602/…
Το 0 μπορεί να φύγει. Τώρα, μετράμε πόσες θέσεις περιέχει το δεκαδικό μέρος του αριθμού,δηλαδή ο αριθμός μετά την υποδιαστολή. 3. Άρα το δεκαδικό κλάσμα από κάτω θα έχει 3 μηδενικά.
602/1.000
Εκμάθηση προπαίδειας με μια εικόνα!
Ναι! Με μια απλή εικόνα που μπορείτε να εκτυπώσετε μαθαίνετε την προπαίδεια!
Σχολικά βοηθήματα και παιχνίδια 