Δυνάμεις στα Μαθηματικά: Εύκολος πολλαπλασιασμός

Ο όρος «δύναμη» έχει πολλές έννοιες. Στη Φυσική, είναι ένας τύπος ενέργειας (η δυναμική). Παράλληλα, χρησιμοποιείται και σε πολλές εκφράσεις. Στα Μαθηματικά, οι δυνάμεις είναι ένας σύντομος τρόπος για πολλαπλασιασμό.

Τι είναι οι δυνάμεις;

Οι δυνάμεις αποτελούνται από δύο μέρη: τη βάση (base) και τον εκθέτη (exponent). Και οι δύο είναι ακέραιοι.|
Ουσιαστικά, παίρνουμε τη βάση και την πολλαπλασιάζουμε με τον εαυτό της εκθέτης φορές. Γράφεται έτσι:

Η βάση είναι το 3 και ο εκθέτης το 2. Αυτό διαβάζεται «Τρία στη Δευτέρα»: οι εκθέτες διαβάζονται όπως οι τάξεις στο σχολείο: Δευτέρα, Έκτη, Ογδόη και λοιπά. Και σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε το 3 με τον εαυτό του 2 φορές, δηλαδή 3 * 3.

Άρα:

3² = 9
4² = 4 * 4 = 16
6² = 6 * 6 = 36
8³ = 8 * 8 * 8 = 64 * 8 = 512

Κύβοι και τετράγωνα

Όταν ο εκθέτης μιας δύναμης είναι το 2, αντί να πούμε «Στη Δευτέρα», μπορούμε να πούμε «Στο Τετράγωνο». Για παράδειγμα:

προφέρεται «Τρία στη Δευτέρα» ή «Τρία στο τετράγωνο»

Ενώ όταν ο εκθέτης είναι το 3, μπορούμε να πούμε «Στον Κύβο».

Οι δυνάμεις στις αριθμητικές παραστάσεις

Οι δυνάμεις, φυσικά, μπορούν να συμπεριληφθούν σε αριθμητικές παραστάσεις. Προηγούνται σχεδόν απ’ όλα, η σειρά είναι:

  1. Παρενθέσεις
  2. Δυνάμεις
  3. Πολλαπλασιασμοί/Διαιρέσεις
  4. Προσθέσεις/Αφαιρέσεις



Δυνάμεις

Παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών – όλοι οι τρόποι

Η παραγοντοποίηση ενός σύνθετου αριθμού είναι η ανάλυσή του ως γινόμενο πρώτων. Με απλά λόγια, έχουμε έναν σύνθετο αριθμό (έναν αριθμό που έχει κι άλλους διαιρέτες εκτός από το 1 και τον εαυτό του). Θέλουμε να τον εκφράσουμε ως γινόμενο πρώτων αριθμών (το ακριβώς αντίθετο των σύνθετων). Αλλά με ποιους τρόπους μπορούμε να το κάνουμε αυτό;

Συνέχεια

Αριθμητικές παραστάσεις: Τι να προσέχετε!

Μια αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά (συστοιχία) αριθμών οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμητικές παραστάσεις είναι πιο εύκολοι τρόποι για τη λύση ενός προβλήματος. Ας δούμε πώς να λύσουμε μερικές, τις παγίδες και ας δοκιμάσουμε ένα πρόβλημα που ζητά να λυθεί με αριθμητική παράσταση!

Συνέχεια

Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: Λεπτομέρειες και παγίδες!

Όπως και η πρόσθεση, ο πολλαπλασιασμός έχει ιδιότητες που μας βοηθούν να λύσουμε μια πράξη πιο εύκολα. Όμως ο πολλαπλασιασμός είναι σταθερά δυσκολότερος από την πρόσθεση, και έχει και μία έξτρα ιδιότητα. Ας τις δούμε!

 Η αντιμεταθετική ιδιότητα

Είναι μακράν η πιο εύκολη, και ίσως άχρηστη ιδιότητα. Μπορεί να εφαρμοστεί σε κάθε είδους πολλαπλασιασμό (και πρόσθεση). Αν αντιστρέψεις ή βάλεις εντελώς τυχαία τους αριθμούς στη σειρά, θα έχουν και πάλι το ίδιο γινόμενο, όπως ακριβώς γίνεται και στην πρόσθεση και τους προσθετέους της. Για παράδειγμα:

4 * 15 = 15 * 4 = 60

Η προσεταιριστική ιδιότητα

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να εφαρμοστεί πάνω σε έναν πολλαπλασιασμό με 3 πολλαπλασιαστέους ή περισσότερους. Ας δούμε ένα παράδειγμα και ακολουθεί η εξήγηση:

9 * 3 * 8 = (9 * 3) * 8 = 27 * 8 = 216

Αυτή η ιδιότητα μας αφήνει να προσθέσουμε όποιους αριθμούς θέλουμε, με όποια σειρά θέλουμε, ώστε ο πολλαπλασιασμός να γίνει πιο εύκολος. Κι άλλα παραδείγματα:

15 * 4 * 9 = (15 * 4) * 9 = 60 * 9 = 540

12 * 2 * 3 = (3 * 2) * 12 = 6 * 12 = 72

Η επιμεριστική ιδιότητα

Η επιμεριστική ιδιότητα έχει δύο τρόπους λύσης, και είναι παράλληλα η πιο σπάνια.

Εφαρμόζεται όταν θέλουμε έναν αριθμό με ένα άθροισμα/γινόμενο/διαφορά. Δείτε ένα παράδειγμα:

7 * (5 + 21) = 7 * 26 = 182

Αυτός ήταν ο πρώτος τρόπος. Υπολογίσαμε το άθροισμα των παρενθέσεων και το πολλαπλασιάσαμε με το 7. Πάμε για μερικά ακόμα παραδείγματα:

6 * (9 – 3) = 6 * 6 = 36

6 * (5 * 5) = 6 * 25 = 150

Ο δεύτερος τρόπος χρησιμεύει κυρίως για δεκαδικούς.

7 * (5 + 21) = (7 * 5) + (7 * 21) = 35 + 147 = 182

Είναι πιο δύσκολος, αλλά μπορεί πραγματικά να σας λύσει τα χέρια. Ας τον δούμε πιο αναλυτικά: Πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό στην παρένθεση με τον πολλαπλασιαστή μας (δηλαδή τον πρώτο αριθμό) και προσθέτουμε τα αποτελέσματα. Εξάλλου, τι θα σας άρεσε περισσότερο;

92 * (82 + 7) = 92 * 89 = 8188
ή
92 * (82 + 7) = 92 * (20 + 20 + 20 + 20 + 2 + 7) = ((92 * 20) * 4) + (92 * 2) + (92 * 7) = (92 * 20) + (92 * 20) + (92 * 20) +  (92 * 20) + (92 * 2) + (92 * 7) = 1840 + 1840 + 1840 + 1840 + 184 + 644 =  8188

(μην ανησυχείτε αν δεν καταλαβαίνετε. Θα τα εξηγήσουμε σύντομα!)

Στην τελευταία πράξη έχουμε «σπάσει» το 82 σε κομμάτια ώστε να είναι πιο εύκολο για εμάς. Είναι καλή εξάσκηση.

Θα εστιάσουμε στον δεύτερο τρόπο, που είναι σαφώς πιο δύσκολο να κατανοηθεί.

92 * (82 + 7) = 92 * (20 + 20 + 20 + 20 + 2 + 7)…

Εκεί σπάσαμε το 82 σε διάφορα κομμάτια, και προσθέσαμε και το 7, τον δεύτερο προσθετέο (τον δεύτερο αριθμό με τον οποίο κάνουμε την πρόσθεση στην αρχική πράξη).

Μιας και έχουμε πολλά 20, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιασμό για να μη γράφουμε πολλά! (Εμείς γράψαμε τα πάντα για να είναι πιο κατανοητή η πράξη)

Αυτό το ((92 * 20) * 4) + (92 * 2) + (92 * 7) σημαίνει:
Πολλαπλασίασε το γινόμενο (το αποτέλεσμα) του 92 * 20 με το 4. Πρόσθεσε το γινόμενο του 92*2, και μετά του 92 * 7.

Ύστερα εμείς σας γράφουμε στη μαθηματική γλώσσα τι σημαίνει αυτό, στην επόμενη ισότητα!

((92 * 20) * 4)

Γιατί τόσες παρενθέσεις;

Βάζουμε παρενθέσεις γύρω γύρω από αυτό για να κρατήσουμε το αποτέλεσμά του και μετά να το προσθέσουμε με τα άλλα. Βάζουμε και παρενθέσεις γύρω απ’ το 92 * 20, ώστε το αποτέλεσμά του να πολλαπλασιαστεί με το 4, αφού έχουμε 4 εικοσάρια. Αν είχαμε 6 εικοσάρια, θα γράφαμε

((92 * 20) * 6)

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων/μεικτών χρησιμοποιώντας την απλοποίηση

Εκτός από τον συνήθη τρόπο για τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων/μεικτών, υπάρχει και η μέθοδος της απλοποίησης για τους πολλαπλούς πολλαπλασιασμούς.

Γιατί να χρειαστεί αυτή η μέθοδος

Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται αποκλειστικά για να μας διευκολύνει σε πολλούς πολλαπλασιασμούς. Π.χ.:

2/4x 3/4x 7/8x 3/2=?

Αντί να κάτσεις να κάνεις τις πράξεις, θα χρησιμοποιήσεις την απλοποίηση.

Τι είναι η απλοποίηση και πώς χρησιμοποιείται

Στον πολλαπλασιασμό-προσέξτε, μόνο στον πολλαπλασιασμό!- μπορούμε να πάρουμε έναν αριθμό από πάνω, έναν από κάτω και να τον πάρουμε σαν κλάσμα, επιτρέποντας στον εαυτό μας να το απλοποιήσουμε.

π.χ. 3/4x 2/4x 1/4=?

Θα πάρουμε έναν αριθμό που απλοποιείται με το 4, δηλαδή το 2. Το 2/4 γίνεται 1/2 οπότε έχουμε λιγότερα να λύσουμε. Σβήνουμε με το μολύβι το 2 και το κάνουμε 1. Αντίστοιχα κάνουμε και το 4.

Προσέξτε! Έναν από πάνω και έναν από κάτω!

Όταν έχουμε μεγάλο πολλαπλασιασμό, θα ψάξουμε να βρούμε αν υπάρχει ένας αριθμός πάνω και ο ίδιος από κάτω. Και οι δύο θα μετατραπούν σε 1. Όταν τελειώσουμε, θα βρούμε αριθμούς που απλά απλοποιούνται, χωρίς να ‘ναι ίδιοι. Στο τέλος, πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς που προέκυψαν από την απλοποίηση.

γιο

Κλικ στην εικόνα για μεγέθυνση.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση αριθμών με το 10,100,1.000…

 

Πάντα θα τυχαίνει να πρέπει να πολλαπλασιάσουμε/διαιρέσουμε αριθμούς με το 10,100,1.000,10.000 και τα υπόλοιπα. Πώς όμως να το κάνουμε γρήγορα και απλά χωρίς να πρέπει να το κάνουμε κάθετα;

Πολλαπλασιασμός

ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Με τους κανονικούς αριθμούς, απλά προσθέτουμε μηδενικά. Τόσα μηδενικά όσα έχει και το 10,100…

35X100=3.500

35X10=350

Και ούτω καθεξής.

ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ

Στους δεκαδικούς, μετακινούμε την υποδιαστολή τόσες θέσεις δεξιά όσα μηδενικά έχει το 10…

35,3X10=353

35,3X10.000=353.000 (μετακινούμε την υποδιαστολή μία φορά και προσθέτουμε μηδενικά επειδή πλέον ο αριθμός ήταν ακέραιος)

Διαίρεση

Α’ ΤΡΟΠΟΣ

Στη διαίρεση μετακινούμε την υποδιαστολή αριστερά ή σβήνουμε μηδενικά. Ή και τα δύο.

35:100=0,35

35:10.000=0,0035 (αφού μετακινήσουμε 2 θέσεις και γίνει 0,35, πλέον προσθέτουμε μηδενικά στη θέση των δεκάτων, όσα έχουν απομείνει. Θα βάλουμε 2 μιας και από τα 4 μηδενικά του 10.000, χρησιμοποιήσαμε 2 για να το κάνουμε 0,35)

Β’ ΤΡΟΠΟΣ

Μπορεί με τον άλλο τρόπο να είναι σίγουρο ότι θα το βγάλουμε σωστά, αλλά με αυτόν είναι πιο εύκολο και ξεκούραστο.

Σκεφτόμαστε τη διαίρεση σαν κλάσμα.

35:100=35/100

Προφέρουμε (πάντα νοερά 😉 ) «τριάντα πέντε εκατοστά»

Άρα ο δεκαδικός θα έχει 

35 εκατοστά και μόνο. Δηλαδή 0,35.

Όταν το κλάσμα είναι καταχρηστικό (δηλαδή που έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από παρονομαστή) απλά θα το ξανασκεφτούμε:

35:10=35/10= τριάντα πέντε δέκατα

10 δέκατα=1 οπότε θα είναι εύκολο να βρούμε το 3,5.

 

Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση με το 10,100,1000

Μονάδες μέτρησης απόστασης- Το μέτρο και οι υποδιαιρέσεις του

Πώς υπολογίζουμε την απόσταση;

Πραγματικά πολύ καλή ερώτηση. Ποια μονάδα μέτρησης θα χρησιμοποιήσουμε; Εξαρτάται το μέγεθος του υλικού σώματος. Το πιο συνηθισμένο είναι το μέτρο και οι υποδιαιρέσεις του. Τι είναι αυτό;

Ένα χιλιοστό (χιλ) ισοδυναμεί με ένα μέρος του νυχιού μας.

Ένα εκατοστό (εκ) ισοδυναμεί με τον δείκτη του χεριού μας (κάθετα).

Ένα δεκατόμετρο ή δέκατο (δεκ) ισοδυναμεί με όλη την παλάμη.

Ένα μέτρο (μ) ισοδυναμεί με 10 παλάμες.

Ένα χιλιόμετρο (χμ) είναι 1.000 μέτρα.

Μέτρο

Δέκατο

Εκατοστό

Χιλιοστό

Αν θέλουμε να μετατρέψουμε π.χ. ένα χιλιοστό σε δέκατα, θα διαιρέσουμε, επειδή κατεβαίνουμε ένα «σκαλί» από τον πίνακα. Όταν κατεβαίνουμε, διαιρούμε και όταν ανεβαίνουμε, πολλαπλασιάζουμε. Αν θέλουμε να κατέβουμε 2 φορές (χιλιοστό σε δέκατο) θα πάρουμε το 1, θα βάλουμε όσα 0 όσα είναι και οι φορές (1 και 2 μηδενικά, 100) και θα διαιρέσουμε 1 χιλιοστό :100= 0,01 δεκ.

Τι γίνεται όμως με τα χιλιόμετρα; Δεν είναι στον πίνακα…

Απλά θα μετατρέψουμε τα π.χ. εκατοστά σε μέτρα, και μετά θα μετατρέψουμε τα μέτρα σε χμ.

2.340 εκ. σε χμ.

2.340 εκ= 23,4 μ.

23,4 μ= 0,0234 χμ.

Προσοχή!

Στο Γυμνάσιο θα μας ζητηθεί να τα ξέρουμε στα Αγγλικά, ειδικά στη Φυσική!

μ.= m

δεκ=dm

εκ=cm

χιλ=mm

χμ=km

Μονάδες μέτρησης απόστασης