Σύγκριση, διάταξη και παρεμβολή κλασμάτων και μεικτών- Όλοι οι τρόποι

Πάντα θα θέλουμε να συγκρίνουμε, να διατάσσουμε ή ακόμα και να κάνουμε παρεμβολές σε κλάσματα. Σήμερα θα δούμε πώς να το κάνουμε αυτό, σε κάθε κλάσμα, σε όλες τις περιπτώσεις!

Συνέχεια

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων/μεικτών χρησιμοποιώντας την απλοποίηση

Εκτός από τον συνήθη τρόπο για τον πολλαπλασιασμό κλασμάτων/μεικτών, υπάρχει και η μέθοδος της απλοποίησης για τους πολλαπλούς πολλαπλασιασμούς.

Γιατί να χρειαστεί αυτή η μέθοδος

Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται αποκλειστικά για να μας διευκολύνει σε πολλούς πολλαπλασιασμούς. Π.χ.:

2/4x 3/4x 7/8x 3/2=?

Αντί να κάτσεις να κάνεις τις πράξεις, θα χρησιμοποιήσεις την απλοποίηση.

Τι είναι η απλοποίηση και πώς χρησιμοποιείται

Στον πολλαπλασιασμό-προσέξτε, μόνο στον πολλαπλασιασμό!- μπορούμε να πάρουμε έναν αριθμό από πάνω, έναν από κάτω και να τον πάρουμε σαν κλάσμα, επιτρέποντας στον εαυτό μας να το απλοποιήσουμε.

π.χ. 3/4x 2/4x 1/4=?

Θα πάρουμε έναν αριθμό που απλοποιείται με το 4, δηλαδή το 2. Το 2/4 γίνεται 1/2 οπότε έχουμε λιγότερα να λύσουμε. Σβήνουμε με το μολύβι το 2 και το κάνουμε 1. Αντίστοιχα κάνουμε και το 4.

Προσέξτε! Έναν από πάνω και έναν από κάτω!

Όταν έχουμε μεγάλο πολλαπλασιασμό, θα ψάξουμε να βρούμε αν υπάρχει ένας αριθμός πάνω και ο ίδιος από κάτω. Και οι δύο θα μετατραπούν σε 1. Όταν τελειώσουμε, θα βρούμε αριθμούς που απλά απλοποιούνται, χωρίς να ‘ναι ίδιοι. Στο τέλος, πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς που προέκυψαν από την απλοποίηση.

γιο

Κλικ στην εικόνα για μεγέθυνση.

Πολλαπλασιασμός μεικτών αριθμών με κλάσματα, μεικτούς, ακέραιους και δεκαδικούς

Πάντα να θυμάστε ότι στον πολλαπλασιασμό και στη διαίρεση οι μεικτοί γίνονται πάντα κλάσματα.

Ακέραιοι

Θα πρέπει να μετατραπούν όλοι σε κλάσματα. Ο ακέραιος μπορεί να μείνει και ίδιος.

3 3/5X 4= 18/5X 4/1= 72/5= 14 2/5

Αν το 4 έμενε ίδιο και δεν μετατρεπόταν σε 4/1, τότε θα πολλαπλασιάζαμε μόνο τον αριθμητή.

Κλάσματα

3 3/5X 9/11= 18/5X 9/11= 162/55= 2 52/55

Δεκαδικοί 

Και οι μεικτοί και οι δεκαδικοί γίνονται κλάσματα.

3 3/5X 0/9= 18/5X 9/10= 162/50= 3 12/50= 3 6/25

Θυμηθείτε: Τα αποτελέσματα των πράξεων πρέπει να είναι ανάγωγα κλάσματα, όχι καταχρηστικά και αν είναι μεικτοί, πρέπει να έχουν ανάγωγο κλάσμα.

Άλλοι μεικτοί

Το μαντέψατε…

3 3/5X 3 3/5= 18/5X 18/5= 324/25= 12 24/25

 

Πολλαπλασιασμοί μεικτών

Αφαίρεση μεικτών- Όλα τα κόλπα

Αφαίρεση μεικτών

Η αφαίρεση έχει κι αυτή δύο τρόπους!!!! Χαρήκατε πολύ τώρα έτσι;

1. Μετατρέπουμε τους μεικτούς σε κλάσματα…

2. Ή κάνουμε ακέραιος-ακέραιος και κλάσμα-κλάσμα!

Ναιιιι! Πάμε να διασκεδάσουμε κάνοντας το καλύτερο… πολύπλοκες πράξεις!!!!!

Πρώτος τρόπος

8 8/10- 3 3/8=???? Πάμε να τα κάνουμε όλα κλάσματα! Νέα πράξη: 88/10- 27/8 ΕΚΠ και άλλα μας κάνουν νέα πράξη: 352/40- 135/40= 217/40 Και φυσικά το κάνουμε μεικτό… Άρα 8 8/10- 3 3/8= 4 17/40

Δεύτερος τρόπος

Εδώ δε θα κάνουμε απολύτως τίποτα διαφορετικό. 8 8/10- 3 3/8= 5+ (8/10- 3/8) Τι σημαίνει αυτό; Ότι η αρχική πράξη μετατράπηκε σε μία άλλη. Για να βρω την άλλη (που ασφαλώς θα έχει το ίδιο αποτέλεσμα με την πρώτη) θα πρέπει να βρω το αποτέλεσμα της πρόσθεσης 5+ το αποτέλεσμα του 8/10- 3/8! Προσέξτε όμως την μαθηματική γλώσσα… Μετά θα κάνουμε κανονικά την αφαίρεση των κλασμάτων, με το ΕΚΠ και τα γνωστά, αλλά το 5 μαρκαρισμένο πριν πρέπει να γράφεται. Πάμε, μετάφραση: 8 8/10- 3 3/8= 5+ (8/10- 3/8)= 5+ (32/40- 15/40)= 5+ 17/40= 5 17/40!!!

Μια περίεργη ανωμαλία

Δεν τελειώσαμε…! Υπάρχουν περίεργες περιπτώσεις. Ας δούμε το 9 2/3- 3 3/4 Βάζουμε τα ΕΚΠ, όλα καλά μέχρι τώρα. 6+ (2/3- 3/4)= 6+ (8/12- 9/12)=… Wait, WHAT? 8/12- 9/12; Και από δω όλα αλλάζουν. Δε θα αλλάξουμε τους ακέραιους. Θα τους αφήσουμε σε μεικτό αριθμό! Το ακέραιο μέρος θα παραμείνει εκεί και στα κλάσματα θα βάλουμε ΕΚΠ και θα κάνουμε την αφαίρεση! Δείτε: 9 2/3- 3 3/4= 9 8/12- 3 9/12=???? Το 9 8/12 πρέπει να μετατραπεί ώστε ο αριθμητής του να ξεπερνά το 9 αλλά ο παρονομαστής 12 να μην αλλάξει καθόλου! Δηλαδή:

• Προσθέτουμε στον αριθμητή του κλασματικού μέρους τον παρονομαστή (8+12=20)

• Μειώνουμε με το 1 το ακέραιο μέρος, (9-1=8)

• Αφήνουμε τον παρονομαστή όπως έχει

• Και έχουμε το νέο κλάσμα 8 20/12 με ίδια αξία με το προηγούμενο!

9 8/12- 3 9/12= 8 20/12- 3 9/12= 5 11/12! Αυτός είναι ο δεύτερος τρόπος, μόνο που τα κλάσματα αδυνατούν να αφαιρεθούν και τα μετατρέπουμε!

Πρόσθεση μεικτών, με δύο τρόπους

Οι πράξεις με μεικτούς αριθμούς γίνονται σε κάθε περίπτωση με 2 τρόπους:

  1. Μετατρέπουμε τον μεικτό σε κλάσμα
  2. Κάνουμε ξεχωριστά τις πράξεις ακέραιος(+,- κλπ)ακέραιος και κλάσμα(+,-) κλάσμα.

Ο δεύτερος είναι πιο απλός, αλλά καλό θα κάνει και ο πρώτος 🙂

Πώς προσθέτουμε μεικτούς αριθμούς;

Πρόσθεση

πρωτος τροπος

Ας πούμε ότι έχουμε την πρόσθεση… 2,37+ 3 3/8 +8 8/10.

Δεκαδικός αριθμός, κατευθείαν σε κλάσμα. 237/100

Άρα η πράξη μας είναι 237/100+ 3 3/8+ 8 8/10.

Όλα σε κλάσματα

Άρα 237/100+27/8+88/10.

Πρώτα θα βρούμε τον ΕΚΠ, που είναι το 200.

Κάνουμε κανονικά την πρόσθεση.

474/200+675/200+1.760/200=2.909/200

Δεν τελειώνει εδώ, το αποτέλεσμα πρέπει να είναι μεικτός με ανάγωγο κλάσμα. Έτσι θα κάνουμε την μετατροπή κλάσματος σε μεικτό διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

2.909:200=14 109/200

δευτερος τροπος

Ο καλύτερος.

2,37+ 3 3/8+ 8 8/10

Κάνουμε πάλι το 2,37 κλάσμα, 237/100. Τα άλλα… τα αφήνουμε όπως έχουν!

237/100+3 3/8+8 8/10

3+8=11, για να τελειώνουμε.

Πλέον η πράξη μας είναι 11+ 237/100+3/8+8/10. Τώρα θα προσθέσουμε τα κλάσματα μη λογαριάζοντας το 11, αλλά προσέξτε, πρέπει να το γράφουμε!

ΕΚΠ(100,8,10)=200

11+ 474/200+ 75/200+ 160/200= 11 709/200

Ποτέ μην αφήνετε μεικτό με καταχρηστικό κλάσμα!

Το 709/200 γίνεται 3 109/200…

11+ 3 109/200= 14 109/200!

Πρόσθεση μεικτών- 2 τρόποι

Πώς βρίσκουμε τον ΕΚΠ των αριθμών- Πρώτα βήματα

Το ΕΚΠ σημαίνει Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο. Χρειάζεται σε πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων αναγκαστικά. Υπάρχουν κάμποσοι τρόποι για την εύρεσή του, αλλά τώρα θα δούμε τον πιο εύκολο.

Θέλουμε να βρούμε το ΕΚΠ του 7, του 6 και του 4; Πρώτα θα το γράψουμε αλά Μαθηματικά, είναι αδιανόητο να γράψεις σε τεστ «Θέλω να βρω το ΕΚΠ του 7, του 6 και του 4 κι γι’ αυτό θα………..». Θα το γράψετε ως εξής:

ΕΚΠ(6,4,7)=__________

Και ακολουθείτε τη διαδικασία.

Βρίσκετε τον μεγαλύτερο αριθμό (7) και τον διπλασιάζετε (14). Ελέγξτε αν διαιρείται με τους άλλους αριθμούς. Όχι; Τριπλασιάστε το 7 (21) μέχρι να βρεθεί η λύση!

Άρα εδώ έπρεπε να πολλαπλασιάσουμε το 7 12 φορές (!) για να βρούμε τελικά το 84.

Αν ο ΕΚΠ σε μεγάλους αριθμούς αρνείται πεισματικά να βρεθεί, τότε η μόνη λύση είναι να τους πολλαπλασιάσεις όλους μαζί…

Μετατροπή κλασμάτων σε δεκαδικούς εύκολα και γρήγορα

Kλάσματα-Δεκαδικoί

Τα κλάσματα είναι προπάντων αριθμοί. Είναι σε μερικές περιπτώσεις όμως δύσκολο να καταλάβουμε ένα κλάσμα του τύπου π.χ. 85/90. Έτσι για να το καταλάβει ο άλλος στον οποίο μιλάμε, μπορούμε:

  • Να το απλοποιήσουμε
  • Να το μετατρέψουμε σε δεκαδικό
  • Να το απλοποιήσουμε και να το μετατρέψουμε σε δεκαδικό

Το πρώτο είναι εύκολο αλλά μπορεί και πάλι να συνεχίζει να προβληματίζει τον άλλον. Το δεύτερο είναι αυτό που α δούμε τώρα και το τρίτο διευκολύνει εμάς και τον άλλον.

85/90 σε δεκαδικό…

Ξέρουμε ότι για να κάνουμε ένα κλάσμα δεκαδικό πρέπει να είναι με παρονομαστή 10,100… δηλαδή δεκαδικό κλάσμα. Εδώ όμως μπορεί να μετατραπεί το 85/90 σε δεκαδικό κλάσμα; Προφανώς, αν μετατρεπόταν θα κάναμε κανονικά τη διαδικασία. Γι’ αυτό τι θα κάνουμε;

Μα θα το απλοποιήσουμε. Και τα 2 :5 μας κάνουν 17/18. Και τώρα τι;

Θα πρέπει να κάνουμε την δύσκολη διαίρεση 17:18. Πάντως πιο εύκολο από 85:90!

Αν πάλι καταφέρναμε να κάνουμε το κλάσμα δεκαδικό, η δουλειά θα ήταν εύκολη: Το κλάσμα 18/10 είναι απ’ ευθείας 1,8 επειδή 18:10=1,8. Αν είναι δεκαδικό, παίρνουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή, βλέπουμε τα μηδενικά του δεύτερου και μετακινούμε το κόμμα τόσες θέσεις αριστερά. Όταν δεν υπάρχει κόμμα είναι σαν να είναι μετά το τελευταίο ψηφίο.

Πώς κάνουμε δεκαδικούς κλάσματα:

Παίρνουμε τον δεκαδικό 0,602. Τον γράφουμε όλο στη θέση του αριθμητή χωρίς κόμματα.

0602/…

Το 0 μπορεί να φύγει. Τώρα, μετράμε πόσες θέσεις περιέχει το δεκαδικό μέρος του αριθμού,δηλαδή ο αριθμός μετά την υποδιαστολή. 3. Άρα το δεκαδικό κλάσμα από κάτω θα έχει 3 μηδενικά.

602/1.000