Δευτεροβάθμιες (τετραγωνικές) βήμα-βήμα, για αρχάριους

Εξισώσεις δευτέρου βαθμού, ή αλλιώς δευτεροβάθμιες ή τετραγωνικές εξισώσεις, είναι εξισώσεις στις οποίες ο μεγαλύτερος εκθέτης που έχει ο άγνωστος είναι το 2, και έχουν τη μορφή:
a * x^2 + b * x + c = 0
όπου a \neq 0, δηλαδή το a δεν είναι 0.

Προαπαιτούμενες γνώσεις:

  • πραγματικοί αριθμοί (ρητοί και άρρητοι)
  • τετραγωνικές ρίζες
  • αρνητικοί αριθμοί
  • άνεση με τη χρήση μεταβλητών
  • πρόσημα

Συνέχεια

Σε τι εξετάζονται οι μαθητές στις ενδοσχολικές εξετάσεις του Ιουνίου;

Το 2016, το Υπουργείο Παιδείας ανακοίνωσε πως οι ενδοσχολικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις του Γυμνασίου δε θα καταργηθούν, αλλά το εύρος τους θα μειωθεί σημαντικά. Συγκεκριμένα, οι μαθητές εξετάζονται πλέον μόνο σε πέντε μαθήματα:

  1. Γλωσσική Διδασκαλία (Γλώσσα)
  2. Νεολληνική Λογοτεχνία (Κείμενα)
  3. Ιστορία
  4. Μαθηματικά (Άλγεβρα & Γεωμετρία)
  5. Φυσική

Ας δούμε σε τι ακριβώς εξετάζονται οι μαθητές, καθώς και ενδεικτικά θέματα εξετάσεων για την Α’ Γυμνασίου.

Συνέχεια

Τι είναι οι εξισώσεις και πώς τις λύνουμε

Οι εξισώσεις είναι μακράν το πιο παρεξηγημένο μέρος των Μαθηματικών. Οι περισσότεροι μαθητές οι οποίοι δεν τις έχουν μάθει ακόμα πιστεύουν ότι είναι κάτι δύσκολο και εξωπραγματικό. Εντούτοις, οι εξισώσεις είναι κάτι το οποίο κάναμε… στην Α’ Δημοτικού! Ας ρίξουμε λίγο φως στο τι είναι οι εξισώσεις και πώς τις λύνουμε.

Συνέχεια

Δυνάμεις στα Μαθηματικά: Εύκολος πολλαπλασιασμός

Ο όρος «δύναμη» έχει πολλές έννοιες. Στη Φυσική, είναι ένας τύπος ενέργειας (η δυναμική). Παράλληλα, χρησιμοποιείται και σε πολλές εκφράσεις. Στα Μαθηματικά, οι δυνάμεις είναι ένας σύντομος τρόπος για πολλαπλασιασμό.

Τι είναι οι δυνάμεις;

Οι δυνάμεις αποτελούνται από δύο μέρη: τη βάση (base) και τον εκθέτη (exponent). Και οι δύο είναι ακέραιοι.|
Ουσιαστικά, παίρνουμε τη βάση και την πολλαπλασιάζουμε με τον εαυτό της εκθέτης φορές. Γράφεται έτσι:

Η βάση είναι το 3 και ο εκθέτης το 2. Αυτό διαβάζεται «Τρία στη Δευτέρα»: οι εκθέτες διαβάζονται όπως οι τάξεις στο σχολείο: Δευτέρα, Έκτη, Ογδόη και λοιπά. Και σημαίνει ότι πολλαπλασιάζουμε το 3 με τον εαυτό του 2 φορές, δηλαδή 3 * 3.

Άρα:

3² = 9
4² = 4 * 4 = 16
6² = 6 * 6 = 36
8³ = 8 * 8 * 8 = 64 * 8 = 512

Κύβοι και τετράγωνα

Όταν ο εκθέτης μιας δύναμης είναι το 2, αντί να πούμε «Στη Δευτέρα», μπορούμε να πούμε «Στο Τετράγωνο». Για παράδειγμα:

προφέρεται «Τρία στη Δευτέρα» ή «Τρία στο τετράγωνο»

Ενώ όταν ο εκθέτης είναι το 3, μπορούμε να πούμε «Στον Κύβο».

Οι δυνάμεις στις αριθμητικές παραστάσεις

Οι δυνάμεις, φυσικά, μπορούν να συμπεριληφθούν σε αριθμητικές παραστάσεις. Προηγούνται σχεδόν απ’ όλα, η σειρά είναι:

  1. Παρενθέσεις
  2. Δυνάμεις
  3. Πολλαπλασιασμοί/Διαιρέσεις
  4. Προσθέσεις/Αφαιρέσεις



Δυνάμεις

Παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών – όλοι οι τρόποι

Η παραγοντοποίηση ενός σύνθετου αριθμού είναι η ανάλυσή του ως γινόμενο πρώτων. Με απλά λόγια, έχουμε έναν σύνθετο αριθμό (έναν αριθμό που έχει κι άλλους διαιρέτες εκτός από το 1 και τον εαυτό του). Θέλουμε να τον εκφράσουμε ως γινόμενο πρώτων αριθμών (το ακριβώς αντίθετο των σύνθετων). Αλλά με ποιους τρόπους μπορούμε να το κάνουμε αυτό;

Συνέχεια

Τα Κριτήρια Διαιρετότητας: Τα σημαντικότερα

Τα κριτήρια διαιρετότητας είναι χρήσιμα κόλπα που μας επιτρέπουν να καταλάβουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με κάποιον άλλον χωρίς να παιδευτούμε να κάνουμε τη διαίρεση!

Συνέχεια

Στρογγυλοποίηση αριθμών, εξαιρέσεις και ανάλυση

Η στρογγυλοποίηση αριθμών γίνεται όταν έχεις έναν αριθμό με πολλά ψηφία, που θες να θυμάσαι πιο εύκολα, αλλά δε χαλά κι ο κόσμος αν δεν είναι ακριβώς ο ίδιος. Παράδειγμα:

Η Ελλάδα έχει 10.985.617 κατοίκους. → Η Ελλάδα έχει 11.000.000 κατοίκους περίπου.

Συνέχεια

Αριθμητικές παραστάσεις: Τι να προσέχετε!

Μια αριθμητική παράσταση είναι μια σειρά (συστοιχία) αριθμών οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμητικές παραστάσεις είναι πιο εύκολοι τρόποι για τη λύση ενός προβλήματος. Ας δούμε πώς να λύσουμε μερικές, τις παγίδες και ας δοκιμάσουμε ένα πρόβλημα που ζητά να λυθεί με αριθμητική παράσταση!

Συνέχεια

Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: Λεπτομέρειες και παγίδες!

Όπως και η πρόσθεση, ο πολλαπλασιασμός έχει ιδιότητες που μας βοηθούν να λύσουμε μια πράξη πιο εύκολα. Όμως ο πολλαπλασιασμός είναι σταθερά δυσκολότερος από την πρόσθεση, και έχει και μία έξτρα ιδιότητα. Ας τις δούμε!

 Η αντιμεταθετική ιδιότητα

Είναι μακράν η πιο εύκολη, και ίσως άχρηστη ιδιότητα. Μπορεί να εφαρμοστεί σε κάθε είδους πολλαπλασιασμό (και πρόσθεση). Αν αντιστρέψεις ή βάλεις εντελώς τυχαία τους αριθμούς στη σειρά, θα έχουν και πάλι το ίδιο γινόμενο, όπως ακριβώς γίνεται και στην πρόσθεση και τους προσθετέους της. Για παράδειγμα:

4 * 15 = 15 * 4 = 60

Η προσεταιριστική ιδιότητα

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να εφαρμοστεί πάνω σε έναν πολλαπλασιασμό με 3 πολλαπλασιαστέους ή περισσότερους. Ας δούμε ένα παράδειγμα και ακολουθεί η εξήγηση:

9 * 3 * 8 = (9 * 3) * 8 = 27 * 8 = 216

Αυτή η ιδιότητα μας αφήνει να προσθέσουμε όποιους αριθμούς θέλουμε, με όποια σειρά θέλουμε, ώστε ο πολλαπλασιασμός να γίνει πιο εύκολος. Κι άλλα παραδείγματα:

15 * 4 * 9 = (15 * 4) * 9 = 60 * 9 = 540

12 * 2 * 3 = (3 * 2) * 12 = 6 * 12 = 72

Η επιμεριστική ιδιότητα

Η επιμεριστική ιδιότητα έχει δύο τρόπους λύσης, και είναι παράλληλα η πιο σπάνια.

Εφαρμόζεται όταν θέλουμε έναν αριθμό με ένα άθροισμα/γινόμενο/διαφορά. Δείτε ένα παράδειγμα:

7 * (5 + 21) = 7 * 26 = 182

Αυτός ήταν ο πρώτος τρόπος. Υπολογίσαμε το άθροισμα των παρενθέσεων και το πολλαπλασιάσαμε με το 7. Πάμε για μερικά ακόμα παραδείγματα:

6 * (9 – 3) = 6 * 6 = 36

6 * (5 * 5) = 6 * 25 = 150

Ο δεύτερος τρόπος χρησιμεύει κυρίως για δεκαδικούς.

7 * (5 + 21) = (7 * 5) + (7 * 21) = 35 + 147 = 182

Είναι πιο δύσκολος, αλλά μπορεί πραγματικά να σας λύσει τα χέρια. Ας τον δούμε πιο αναλυτικά: Πολλαπλασιάζουμε κάθε αριθμό στην παρένθεση με τον πολλαπλασιαστή μας (δηλαδή τον πρώτο αριθμό) και προσθέτουμε τα αποτελέσματα. Εξάλλου, τι θα σας άρεσε περισσότερο;

92 * (82 + 7) = 92 * 89 = 8188
ή
92 * (82 + 7) = 92 * (20 + 20 + 20 + 20 + 2 + 7) = ((92 * 20) * 4) + (92 * 2) + (92 * 7) = (92 * 20) + (92 * 20) + (92 * 20) +  (92 * 20) + (92 * 2) + (92 * 7) = 1840 + 1840 + 1840 + 1840 + 184 + 644 =  8188

(μην ανησυχείτε αν δεν καταλαβαίνετε. Θα τα εξηγήσουμε σύντομα!)

Στην τελευταία πράξη έχουμε «σπάσει» το 82 σε κομμάτια ώστε να είναι πιο εύκολο για εμάς. Είναι καλή εξάσκηση.

Θα εστιάσουμε στον δεύτερο τρόπο, που είναι σαφώς πιο δύσκολο να κατανοηθεί.

92 * (82 + 7) = 92 * (20 + 20 + 20 + 20 + 2 + 7)…

Εκεί σπάσαμε το 82 σε διάφορα κομμάτια, και προσθέσαμε και το 7, τον δεύτερο προσθετέο (τον δεύτερο αριθμό με τον οποίο κάνουμε την πρόσθεση στην αρχική πράξη).

Μιας και έχουμε πολλά 20, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε πολλαπλασιασμό για να μη γράφουμε πολλά! (Εμείς γράψαμε τα πάντα για να είναι πιο κατανοητή η πράξη)

Αυτό το ((92 * 20) * 4) + (92 * 2) + (92 * 7) σημαίνει:
Πολλαπλασίασε το γινόμενο (το αποτέλεσμα) του 92 * 20 με το 4. Πρόσθεσε το γινόμενο του 92*2, και μετά του 92 * 7.

Ύστερα εμείς σας γράφουμε στη μαθηματική γλώσσα τι σημαίνει αυτό, στην επόμενη ισότητα!

((92 * 20) * 4)

Γιατί τόσες παρενθέσεις;

Βάζουμε παρενθέσεις γύρω γύρω από αυτό για να κρατήσουμε το αποτέλεσμά του και μετά να το προσθέσουμε με τα άλλα. Βάζουμε και παρενθέσεις γύρω απ’ το 92 * 20, ώστε το αποτέλεσμά του να πολλαπλασιαστεί με το 4, αφού έχουμε 4 εικοσάρια. Αν είχαμε 6 εικοσάρια, θα γράφαμε

((92 * 20) * 6)

Ιδιότητες πολλαπλασιασμού

Σύγκριση, διάταξη και παρεμβολή κλασμάτων και μεικτών- Όλοι οι τρόποι

Πάντα θα θέλουμε να συγκρίνουμε, να διατάσσουμε ή ακόμα και να κάνουμε παρεμβολές σε κλάσματα. Σήμερα θα δούμε πώς να το κάνουμε αυτό, σε κάθε κλάσμα, σε όλες τις περιπτώσεις!

Συνέχεια