Δευτεροβάθμιες (τετραγωνικές) βήμα-βήμα, για αρχάριους

Εξισώσεις δευτέρου βαθμού, ή αλλιώς δευτεροβάθμιες ή τετραγωνικές εξισώσεις, είναι εξισώσεις στις οποίες ο μεγαλύτερος εκθέτης που έχει ο άγνωστος είναι το 2, και έχουν τη μορφή:
a * x^2 + b * x + c = 0
όπου a \neq 0, δηλαδή το a δεν είναι 0.

Προαπαιτούμενες γνώσεις:

  • πραγματικοί αριθμοί (ρητοί και άρρητοι)
  • τετραγωνικές ρίζες
  • αρνητικοί αριθμοί
  • άνεση με τη χρήση μεταβλητών
  • πρόσημα

Πρώτο βήμα: τροποποίηση της εξίσωσης

Όπως προαναφέραμε, η εξίσωση πρέπει να είναι της μορφής:

a * x^2 + b * x + c = 0

Πολλές φορές, όμως, θα μας δοθούν εξισώσεις που να μην έχουν αυτή τη μορφή, όπως για παράδειγμα η παρακάτω (με την οποία θα ασχοληθούμε και μετά και θα λύσουμε βήμα-βήμα).

x^2 = x + 1

Για να μετατρέψουμε αυτή την εξίσωση σε εξίσωση της παραπάνω μορφής, παίρνουμε το δεξί μέρος της εξίσωσης, μετά το =, και του αντιστρέφουμε τα πρόσημα. Για παράδειγμα, το x + 1 γίνεται - x - 1.

Έχοντας την «αντεστραμμένη» έκδοση, αφαιρούμε το = και την βάζουμε ακριβώς δίπλα στο αριστερό μέρος της εξίσωσης, δηλαδή το μέρος πριν το = (στο παράδειγμά μας το x^2).

Έχουμε λοιπόν: x^2 - x - 1
Για να ολοκληρώσουμε τη μετατροπή, βάζουμε στο τέλος αυτού που έχουμε ένα = 0.

Μένουμε με την τροποιημένη αλλά ισοδύναμη εξίσωση με την παραπάνω:
x^2 - x - 1 = 0

Παρ’ όλα αυτά, λείπει ακόμα κάτι: οι αριθμοί a, b και c από την αρχική μορφή:
a * x^2 + b * x + c = 0
Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται συντελεστές. Συγκεκριμένα, ο a είναι ο συντελεστής του x^2, ο b είναι ο συντελεστής του x, ενώ ο c δεν είναι συντελεστής. Είναι η σταθερά της εξίσωσης.

Όπως γνωρίζουμε, ένας αριθμός y ισούται με το γινόμενο του εαυτού του και του 1: y = y * 1

Άρα, για να βρούμε τον συντελεστή του x^2 απλώς το πολλαπλασιάζουμε με το 1: x^2 = 1 * x^2, βρίσκοντας τελικά ότι ο συντελεστής του είναι το 1. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία με το x και τελειώνουμε με την εξίσωση:

1 * x^2 - 1 * x - 1 = 0

Με τους αριθμούς a, b και c να είναι:
a = 1
b = -1
c = -1

Αν δεν έχετε καταλάβει κάτι μέχρι τώρα, ξαναδιαβάστε ό,τι είναι γραμμένο μέχρι εδώ και φροντίστε να το εμπεδώσετε, καθώς όλη η ενότητα (ιδίως το μέρος με τους συντελεστές) είναι κρίσιμη για τη λύση της εξίσωσης. Πρέπει να έχετε καταλάβει πώς καταλήξαμε με τις τιμές των αριθμών a, \space b, \space c, δηλαδή 1, \space -1, \space -1 αντίστοιχα.

Υπολογίζοντας τη διακρίνουσα

Καθ’ οδόν, καλούμαστε να υπολογίσουμε έναν άλλο αριθμό, τη διακρίνουσα της εξίσωσης, βάσει της οποίας θα κινηθούμε αργότερα. Ο σωστός υπολογισμός της διακρίνουσας είναι κρίσιμος, γι’ αυτό και πρέπει να αντιμετωπίζεται με προσοχή. Η διακρίνουσα \Delta ορίζεται ως εξής:

\Delta = b^2 - 4 * a * c, όπου a, \space b, \space c οι συντελεστές των x^2, \space x και c η σταθερά.

Έχοντας βρει τους συντελεστές και τη σταθερά από την προηγούμενη ενότητα, υπολογίζουμε τη διακρίνουσα.

\Delta = b^2 - 4 * a * c
\Delta = (-1)^2 - 4 * 1 * (-1)
\Delta = 1 - 4 * (-1)
\Delta = 1 - (-4) = 5

Υπολογίσαμε επιτυχώς τη διακρίνουσα, η οποία σε αυτή την εξίσωση είναι 5.

Η λύση της εξίσωσης

Βάσει της διακρίνουσας, μπορούμε να οδηγηθούμε στη λύση (ή στις λύσεις) της εξίσωσης.

Υπάρχει λύση εάν η διακρίνουσα ισούται είτε με το 0 είτε με οποιονδήποτε άλλον θετικό αριθμό. Εάν η διακρίνουσα είναι αρνητική, η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Πιο συγκεκριμένα, εάν η διακρίνουσα είναι θετικός αριθμός (\Delta > 0), τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 * a}

(Σημείωση: το σύμβολο \pm διαβάζεται «συν πλην» και σημαίνει «είτε κάνε πρόσθεση, είτε αφαίρεση», γι’ αυτό και λέμε ότι έχει δύο λύσεις: την πρόσθεση και την αφαίρεση.)

Αν η διακρίνουσα ισούται με το 0, η εξίσωση έχει μία λύση:

x = \frac{-b}{2 * a}

Στην περίπτωσή μας, η διακρίνουσα είναι θετικός αριθμός (το 5), οπότε έχουμε δύο λύσεις.

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 * a}
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{5}}{2 * 1}
x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

Πιο προφορικά: «x ίσον ένα συν πλην ρίζα πέντε δια δύο». Δηλαδή:
x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180339

Η:

x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.6180339

Αυτές λοιπόν είναι οι λύσεις της εξίσωσης.

Σημείωση: το σύμβολο \approx σημαίνει «προσεγγίζει» ή «τείνει στο», με απλά λόγια: «δεν είναι ακριβώς ίσο, αλλά είναι πολύ κοντά». Χρησιμοποιήσαμε αυτό το σύμβολο παραπάνω επειδή το \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} είναι και στις δύο λύσεις του άρρητος αριθμός με άπειρα δεκαδικά ψηφία.

Ελέγχουμε τις λύσεις μας σε μια αριθμομηχανή και βλέπουμε ότι και οι δύο είναι σωστές.

erijfl

Αναγνωρίζουμε ότι είναι μια περίπλοκη διαδικασία, οπότε θα λύσουμε άλλες τρεις εξισώσεις μαζί, για να δείτε καλύτερα πώς δουλεύουν.

Πρώτη εξίσωση εξάσκησης

Η δεύτερη εξίσωση που θα ασχοληθούμε στο άρθρο είναι η εξής:

x^2 = 3x + 8

Εφαρμόζουμε το πρώτο βήμα της τροποποίησης: αλλάζουμε τα πρόσημα του δεξιού μέρους: -3x - 8

Άρα η τροποποιημένη εξίσωση είναι:

x^2 -3x - 8 = 0

Με συντελεστές:

1 * x^2 - 3 * x - 8 = 0

Εντοπίζουμε τους αριθμούς a, \space b, \space c.
a = 1
b = -3
c = -8

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

\Delta = b^2 - 4 * a * c
\Delta = (-3)^2 - 4 * 1 * (-8)
\Delta = 9 - 4 * (-8)
\Delta = 9 - (-32) = 41

Έχοντας βρει τη διακρίνουσα (41), παρατηρούμε πως είναι θετικός αριθμός. Καταλήγουμε στη λύση:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 * a}
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{41}}{2 * 1}
x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}

Αυτό ήταν!

Δεύτερη εξίσωση εξάσκησης

Για εξάσκηση, θα λύσουμε μια παρόμοια εξίσωση με μία μικρή παραλλαγή:

x^2 = 3x - 8

Προσέξατε το – αντί για +;

Τροποποιούμε την εξίσωση:
x^2 - 3x + 8 = 0
Εντοπίζουμε τους συντελεστές και τη σταθερά:
a = 1
b = -3
c = 8

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:
\Delta = b^2 - 4 * a * c
\Delta = (-3)^2 - 4 * 1 * 8
\Delta = 9 - 32 = -23

Ωχ! Η διακρίνουσα είναι αρνητικός αριθμός! Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση δεν έχει λύση. Και τόσος κόπος για το τίποτα…

Τρίτη εξίσωση εξάσκησης

-0.25x^2 = x + 1
-0.25x^2 - x - 1 = 0
a = -0.25
b = -1
c = -1
\Delta = b^2 - 4 * a * c
\Delta = (-1)^2 - 4 * (-0.25) * (-1)
\Delta = 1 - (-1) * (-1)
\Delta = 0
x = \frac{-b}{2 * a}
x = \frac{-(-1)}{2 * (-0.25)}
x = \frac{1}{-0.5}
x = -2

Θυμίζουμε ότι η λύση της εξίσωσης όταν η διακρίνουσα είναι 0 δεν είναι ίδια με τη λύση όταν η διακρίνουσα είναι θετικός αριθμός!

 

Αυτές ήταν λοιπόν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Η διαδικασία είναι περίπλοκη, αλλά ακολουθώντας πιστά τους τύπους και με εξάσκηση, την εμπεδώνεις άμεσα. Να θυμάστε πάντα τους τύπους και μην ξεχνάτε: η εξάσκηση είναι το παν! Καλή επιτυχία!

Advertisements

Σχολιασμός

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s