Τι είναι οι εξισώσεις και πώς τις λύνουμε

Οι εξισώσεις είναι μακράν το πιο παρεξηγημένο μέρος των Μαθηματικών. Οι περισσότεροι μαθητές οι οποίοι δεν τις έχουν μάθει ακόμα πιστεύουν ότι είναι κάτι δύσκολο και εξωπραγματικό. Εντούτοις, οι εξισώσεις είναι κάτι το οποίο κάναμε… στην Α’ Δημοτικού! Ας ρίξουμε λίγο φως στο τι είναι οι εξισώσεις και πώς τις λύνουμε.

Οι αντίστροφες πράξεις και τα μέρη τους

Προτού αρχίσουμε με τον φανταστικό κόσμο των εξισώσεων, πρέπει να θυμηθούμε μερικά πράγματα: Τις αντίστροφες πράξεις και τα μέρη τους.

Οι αντίστροφες πράξεις είναι οι πράξεις που επαληθεύουν άλλες πράξεις αλλάζοντας τη σειρά των μερών τους. Η αντίστροφη πράξη της πρόσθεσης είναι η αφαίρεση και η αντίστροφη πράξη της αφαίρεσης είναι η πρόσθεση, ενώ η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού είναι η διαίρεση και το ανάποδο. Για παράδειγμα:

 

1 + 3 = 4
3 + 1 = 4
4 - 3 = 1
4 - 1 = 3
7 * 5 = 35
5 * 7 = 35
35 : 7 = 5
35 : 5 = 7

Τα μέρη των πράξεων έχουν ορισμένα ονόματα που θα ήταν χρήσιμο να ξέρουμε.

 

Πρόσθεση:
1 + 4 = 5
Το 1 είναι ο προσθετέος, το 4 πάλι ο προσθετέος (υπάρχουν δύο προσθετέοι) και το 5 είναι το άθροισμα.

Αφαίρεση:
10 - 8 = 2
Το 10 είναι ο μειωτέος, το 8 ο αφαιρετέος και το 2 η διαφορά (ή υπόλοιπο: πείτε το όπως θέλετε).

Πολλαπλασιασμός:
7 * 5 = 35
Το 7 είναι ο πολλαπλασιαστής, το 5 ο πολλαπλασιαστέος και το 35 το γινόμενο.

Διαίρεση:
35 : 7 = 5
Το 35 είναι ο διαιρετέος, το 7 ο διαιρέτης και το 5 το πηλίκο.

Όμως γιατί ξαναγυρίσαμε στα Μαθηματικά της Α’ Δημοτικού; Αφού οι εξισώσεις είναι όλο δυσκολίες και ιδρώτας πάνω από ένα τετράδιο, πού κολλάνε όλα αυτά;!

Η σύντομη απάντηση είναι…

Οι εξισώσεις είναι Μαθηματικά Α’ Δημοτικού

Θυμάστε όταν στην Α’ Δημοτικού κάναμε κάτι τέτοια;

1 + ___ = 5
6 - ___ = 3
9 + ___ = 14

Δεν είναι προφανές πως τα κενά είναι 4, 3 και 5 αντίστοιχα; Λοιπόν, αυτό είναι οι εξισώσεις. Αλλά γράφονται με αρκετά διαφορετικό τρόπο, και, επιπλέον, μπορούν κάλλιστα να εμπλέξουν δυνάμεις, κλάσματα κλπ., κάτι που πανικοβάλλει κάμποσους μαθητές. Παρά ταύτα, είναι το ίδιο πράγμα.

Οι μεταβλητές

Μεταβλητή λέμε τον άγνωστο αριθμό που προσπαθούμε να βρούμε: το κενό στο παραπάνω παράδειγμα είναι μια μεταβλητή! Μπορούμε να ονομάσουμε τη μεταβλητή όπως θέλουμε, με γράμματα, λέξεις ή ακόμα και σύμβολα όπως καρδούλες! ♥ Αν βάλουμε ένα τετραγωνάκι όπως στην Α’ Δημοτικού, έχουμε μεταβλητή. Τα πιο συνηθισμένα ονόματα που δίνονται στις μεταβλητές είναι το Χ και το Ψ. Στις εξισώσεις, συμβολίζουν το άγνωστο.

1 + Χ = 6
Ψ - 4 = 10
♥ * 8 = 32
48 : ♣ = 6

Τα Χ, Ψ, ♥ και ♣ είναι όλα μεταβλητές. Δείχνουν ότι δεν ξέρουμε ποιος αριθμός είναι στη θέση τους και ψάχνουμε να τον βρούμε.

Εξισώσεις με πρόσθεση

Αυτές ήταν λοιπόν οι μεταβλητές. Όμως, σαν άνθρωποι, θέλουμε να κάνουμε το άγνωστο γνωστό. Πώς το γράφουμε και πώς το βρίσκουμε; Αρχικά, θα ασχοληθούμε με τις εξισώσεις όπου ο άγνωστος είναι προσθετέος.

Παράδειγμα 1:
82 + Ζ = 187
Ζ = 187 - 82
Ζ = 105

Έτσι λύνουμε τις εξισώσεις πρόσθεσης. Αφαιρούμε τον προσθετέο τον οποίο γνωρίζουμε από το άθροισμα. ΠΡΟΣΟΧΗ! ΠΟΤΕ μην κάνετε αυτό: (αυτό ισχύει γενικά σε όλες τις εξισώσεις)

 

😢 + 2 = 5
😢 = 5 - 2 = 3

Το παραπάνω είναι τεράστιο λάθος! Πρέπει πάντα να ξαναξεκινάτε από κάτω!

😃 + 2 = 5
😃 = 5 - 2
😃 = 3

Αυτό γίνεται πάντα στις εξισώσεις πρόσθεσης, πάντα. Είτε αφορά κλάσματα, είτε απλούς ακεραίους, είτε μεικτούς, είτε…

 
❤️ + 4/5 = 9/3 
❤️ = 9/3 - 4/5 
❤️ = 45/15 - 12/15 
❤️ = 33/15 
❤️ = 2 3/15 
❤️ = 2 1/5 

Εξισώσεις όπου ο άγνωστος είναι αφαιρετέος

Στις εξισώσεις όπου έχουμε αφαίρεση, τα πράγματα δυσκολεύουν. Τα πράγματα αλλάζουν ανάλογα με το αν ο άγνωστος (η μεταβλητή) είναι στη θέση αφαιρετέου ή μειωτέου. Ας εξετάσουμε τι γίνεται στην περίπτωση που είναι αφαιρετέος. Θα πάρουμε τον μειωτέο και από αυτόν, θα αφαιρέσουμε τη διαφορά της αφαίρεσης. Για παράδειγμα:

11 - α = 7
α = 11 - 7
α = 4
Επαληθεύω: 11 - 4 = 7

Εξισώσεις όπου ο άγνωστος είναι μειωτέος

Σε αντίθεση με τις εξισώσεις όπου ο άγνωστος είναι αφαιρετέος, εδώ πρέπει να κάνουμε πρόσθεση ανάμεσα στους δύο γνωστούς.

χ - 5³ = 100
χ - 125 = 100
χ = 125 + 100
χ = 225
Επαληθεύω: 225 - 125 = 100

Όταν έχουμε κάτι ακαθόριστο, όπως παρενθέσεις ή δυνάμεις, κλπ., τα λύνουμε πριν απομονώσουμε τον άγνωστο (δηλαδή πριν κάνουμε χ = …) ώσπου να έχουμε μείνει με λίγους όρους.

Εξισώσεις πολλαπλασιασμού

Αν ο άγνωστος είναι ένας από τους παράγοντες γινομένου, τότε διαιρούμε το γινόμενο του πολλαπλασιασμού με τον παράγοντα που μας είναι γνωστός. Για παράδειγμα:

Α * (2/3 + 4/1) = 5
Α * (2/3 + 12/3) = 5
Α * 14/3 = 5
Α = 5 : 14/3
Α = 5/1 : 14/3
Α = 5/1 * 3/14
Α = 15/14
Α = 1 1/14

Αν στο τέλος δε σας βγαίνει νόημα, τότε θυμηθείτε πώς κάνουμε διαίρεση κλασμάτων.

Εξισώσεις όπου ο άγνωστος είναι διαιρέτης

Εδώ, θα διαιρέσουμε τον διαιρετέο με το πηλίκο για να βρούμε τον άγνωστό μας. Σας θυμίζει κάτι αυτό; Οι εξισώσεις όπου ο άγνωστος είναι αφαιρετέος είναι παρόμοιες.

12 : X = 3
Χ = 12 : 3
Χ = 4

Εξισώσεις όπου ο άγνωστος είναι διαιρετέος

Σε αυτή την περίπτωση, θα πολλαπλασιάσουμε τον διαιρέτη με το πηλίκο.

Ψ : 25 = 10
Ψ = 25 * 10
Ψ = 250

Προβλήματα με εξισώσεις

Προβλημα 1

Ο Γιώργος και η Ναταλία είναι δύο αδέρφια που θέλουν να αγοράσουν για τους εαυτούς τους μια ταμπλέτα. Ο Γιώργος έχει συγκεντρώσει 62.5 ευρώ, η Ναταλία 46.2 ευρώ και η ταμπλέτα κοστίζει συνολικά 130.4 ευρώ. Πόσα λεφτά χρειάζοντα ακόμα τα παιδιά για να συγκεντρώσουν το απαραίτητο ποσό;

Σκέψη: Το ποσό των χρημάτων που χρειάζονται ακόμα είναι ο άγνωστός μας. Ας τον ονομάσουμε Χ. Αν προσθέσω το Χ με τα χρήματα που έχουν ήδη συγκεντρώσει, θα βρω το κόστος της ταμπλέτας. Όμως, δεν ξέρω ακόμα πόσα χρήματα έχουν συνολικά. Άρα…

Λύση:

(62.5 + 46.2) + Χ = 130.4
108.7 + X = 130.4
X = 130.4 - 108.7
X = 21.7

Απάντηση: Τα παιδιά θα χρειαστούν ακόμα 21.7 ευρώ για να αγοράσουν την ταμπλέτα.

Προβλημα 2

Η Ευτυχία και ο Άγγελος μαζεύουν καπάκια για να νικήσουν έναν διαγωνισμό: Ποια ομάδα μπορεί να μαζέψει τα περισσότερα καπάκια σε έναν χρόνο; Φέτος, η Ευτυχία μάζεψε 672 καπάκια ενώ ο Άγγελος 634. Διαπίστωσαν λυπημένοι πως ήταν δεύτεροι, καθώς η πρώτη ομάδα είχε 1500 καπάκια! Αποφάσισαν να συνεργαστούν και με άλλους, και τελικά, στα καπάκια που είχαν ήδη προστέθηκαν άλλα 180 περίπου. Πόσα καπάκια τους μένουν για να φτάσουν την πρώτη ομάδα;

Σκέψη: Από τα καπάκια που έχουν ήδη, πρέπει να προσθέσουν αλλά κ (άγνωστα) καπάκια ώστε να φτάσουν τα 1500.

Λύση:

(672 + 634 + 180) + Χ = 1500
1486 + X = 1500
X = 1500 - 1486
X = 14

Απάντηση: Χρειάζονται ακόμα 14 καπάκια για να προφτάσουν τους πρώτους.

προβλημα 3

Οι τσέπες του Αντώνη είναι τρύπιες, και μερικές φορές, όταν κουβαλάει χρήματα, του πέφτουν κάτω χωρίς να το αντιληφθεί. Μια μέρα, μέτρησε τα χρήματά του: Ήταν 20 ευρώ και 45 λεπτά. 15 μέρες αργότερα, τα μέτρησε πάλι και διαπίστωσε πως είχε μόλις 18 ευρώ. Πόσα ευρώ είχαν χαθεί;

Σκέψη: Από τα αρχικά 20 ευρώ και 45 λεπτά (20.45 ευρώ) έχασε κάποια ευρώ, που δεν ξέρουμε (ας ονομάσουμε τη μεταβλητή ☹️) και του έμειναν μονάχα 18 ευρώ.

Λύση:

20.45 - ☹️ = 18
☹️ = 20.45 - 18
☹️ = 2.45

Απάντηση: Χάθηκαν 2.45 ευρώ.

προβλημα 4

Έχουμε έναν αριθμό που αν πολλαπλασιαστεί με το 2 και στο αποτέλεσμα προσθέσουμε 4, γίνεται 76. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

Λύση:

Α * 2 + 4 = 76
Α * 2 = 76 - 4
Α * 2 = 72
Α = 72 : 2
Α = 36

Απάντηση: Αυτός ο αριθμός είναι το 36.

Προβλημα 5

Από μία πίτσα, η Εμμανουέλα, η Μυρτώ, ο Θοδωρής και ο Αντρέας, μοιράστηκαν τα κομμάτια. Κάθε παιδί έφαγε από δύο κομμάτια. Πόσα κομμάτια είχε αρχικά η πίτσα;

Σκέψη: Τα 4 παιδιά έφαγαν 2 κομμάτια το καθένα, άρα μοιράζουμε έναν άγνωστο αριθμό κομματιών (ας τον ονομάσουμε Ψ).

Λύση:

Ψ : 4 = 2
Ψ = 4 * 2
Ψ = 8

Απάντηση: Τα κομμάτια ήταν στην αρχή 8.
(Πανεύκολο αυτό το τελευταίο…)

Advertisements

2 Comments

Σχολιασμός

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s